By Heinz-Georg Quebbemann

Show description

Read or Download Algebra II PDF

Similar algebra & trigonometry books

Unipotent Algebraic Groups

Ebook by means of Kambayashi, T. , Miyanishi, M. , Takeuchi, M.

Complexity classifications of Boolean constraint satisfaction problems

Many basic combinatorial difficulties, bobbing up in such diversified fields as synthetic intelligence, common sense, graph idea, and linear algebra, may be formulated as Boolean constraint delight difficulties (CSP). This booklet is dedicated to the research of the complexity of such difficulties. The authors' objective is to boost a framework for classifying the complexity of Boolean CSP in a uniform method.

Lectures on Lie Algebras

Downloaded from http://www. math. tau. ac. il/~bernstei/Publication_list/publication_texts/bernsteinLieNotes_book. pdf ; model released in Krötz, "Representation conception, advanced research and necessary geometry", 2012

Extra info for Algebra II

Example text

V eindimensionalen Untervektorr¨aume des Fm , H ∈ F 0 n−1 als Spalten, q q n t und H(m) bestehe aus allen Zeilen c ∈ Fq mit H · c = 0. Es gilt Rang H = m, also hat dieser Code die Dimension k = n − m. Je zwei verschiedene Spalten von H sind linear unabh¨angig, daher hat ¨ jedes Codewort c = 0 mindestens drei Bits cj = 0. Dies bedeutet nach den folgenden Uberlegungen, dass H(m) einen Fehler korrigieren kann. Definition. Das Hamming-Gewicht c von c ∈ Fnq ist die Anzahl aller j ∈ {0, . . , n − 1} mit cj = 0, der Hamming-Abstand dist(c, c ) zwischen c, c ∈ Fnq die Anzahl aller j mit cj = cj , also dist(c, c ) = c − c , die Kugel mit dem Zentrum c und Radius r ist B(c, r) := {x ∈ Fnq | dist(c, x) ≤ r}, und ωq (n, r) bezeichnet die Anzahl der Elemente von B(0, r).

Das allgemeine Polynom n-ten Grades g(t) := tn + u1 tn−1 + . . + un ∈ K[t] ist separabel und hat u ¨ber K die Galoisgruppe Sn . Zum Beweis gen¨ ugt es zu zeigen, dass mit den elementar-symmetrischen s1 , . . , sn ∈ K0 [t1 , . . , tn ] der Einsetzungshomomorphismus ψ : K0 [u1 , . . , un ] −→ K0 [s1 , . . , sn ], ui → (−1)i si ein Isomorphismus ist. 3 einen Isomorphismus K ∼ = E, bei dem g in das vorher betrachtete Polynom f u ¨bergeht, und es folgt G(g) ∼ G(f ) = Gal(L|E) = Sn . = n ¨ber Offensichtlich ist ψ surjektiv.

Zum Beweis des Satzes ist zu zeigen, dass das Minimalpolynom von ζ u ¨ber Q alle ζ k mit ggT(k, n) = 1 als Nullstellen hat. Es gen¨ ugt hierbei, eine Primzahl k = p (die n nicht teilt) zu betrachten. Wir schreiben f = tn − 1 = gh mit g, h ∈ Q[t], wobei g das Minimalpolynom von ζ sei. Aus der Polynom-Arithmetik (Algebra I, Satz von Gauß) ist bekannt, dass g und h in Z[t] liegen. W¨are nun p g(ζ p ) = 0, also h(ζ p ) = 0, so w¨ urde h(tp ) durch g teilbar sein und u ¨ber Fp dann h durch g teilbar.

Download PDF sample

Rated 4.14 of 5 – based on 18 votes