By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach speedy dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quick unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Lectures on Lie Algebras

Downloaded from http://www. math. tau. ac. il/~bernstei/Publication_list/publication_texts/bernsteinLieNotes_book. pdf ; model released in Krötz, "Representation idea, advanced research and vital geometry", 2012

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Die Bezeichnung „Fundamentalsatz der Algebra“ ist übrigens historisch zu verstehen und aus heutiger Sicht eher missverständlich. Denn eigentlich ist dieser Satz in seiner Natur überhaupt nicht algebraisch, das heißt, er basiert nur zu einem geringen Teil auf denjenigen Eigenschaften, welche die vier (Grundrechen-)Operationen im Bereich der komplexen Zahlen besitzen. Viel entscheidender sind dagegen die Eigenschaften der komplexen Zahlen, die auf dem Abstandsbegriff aufbauen – gemeint sind Thematiken wie Konvergenz, Stetigkeit und so weiter.

Bevor wir zum casus irreducibilis zurückkehren, wollen wir die zuletzt gesammelten Erkenntnisse auf die Gleichung x3 −1 = 0 anwenden. Im Bereich der reellen Zahlen ist offensichtlich x1 = 1 die einzige Lösung der Gleichung. Für den Bereich der komplexen Zahlen folgt aus der Moivre’schen Formel, dass die Gleichung noch zwei weitere Lösungen haben muss: Beide liegen, wie in Bild 7 dargestellt, auf dem Einheitskreis und bilden zur positiven Halbachse einen Winkel von 2π/3 beziehungsweise 4π/3, so dass insgesamt ein gleichseitiges Dreieck entsteht.

Aber nicht nur die Lösung konkret gegebener Gleichungen mit explizit bekannten Koeffizienten lässt sich auf Basis des Vieta’schen Wurzelsatzes neu interpretieren. , a1, a0 zu bestimmen. Diese Interpretation wird meist als allgemeine Gleichung n-ten Grades bezeichnet. Für den Fall einer quadratischen Gleichung erhält die wohlbekannte Auflösungsformel damit eine neue Interpretation: x1, 2 = 12 ( x1 + x 2 ) ± 12 ( x1 + x 2 )2 − 4 x1 x 2 = 12 ( x1 + x 2 ) ± 12 ( x1 − x 2 ) Bemerkenswert ist, dass für die Quadratwurzel, die sicherlich der entscheidende Zwischenwert im Rahmen der Gleichungsauflösung ist, ein einfacher Ausdruck, nämlich (x1 – x2), auf der Basis der Lösungen gefunden werden kann.

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