By John Ewing

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Die Potenzreihen. 26 Unter den n Faktoren der rechten Seite ist keiner kleiner als n, denn es ist a (n - a + 1) - n = (a - 1) (n - a) > 0 fur a = 1,2,3, ... , n. oo· und die betrachtete Reihe konvergiert also in der ganzen komplexen Zahlenebene. Fur die Reihe 1 + z + 2! Z2 + . " + n! co folglich z l= CXJ und yTGJ = r=} = lim n~ O. co yn! = CXJ; Die Reihe konvergiert also nur fUr O. Wir erwahnen schlieBlich noch folgenden haufig gebrauchten Satz uber den Konvergenzkreis: Stehen die Potenzreihen = + '+ + c2 Z2 + ...

40 . I, 2. Die Potenzreihen. Es sei nun e der Radius eines Kreises mit dem Mittelprinkt 0, dessen Peripherie ganz im Innern des Konvergenzringes von :0 (z) verlauft (also r 1 < e < r) (Abb. i3). Langs der Peripherie dieses Kreises ist :0. (z) und folglich auch der absolute Betrag I :0. (z) I von:O (z) eine stetige Funktion. (z) I

Cn Zo + ... konvergiert, so ist sieher limcnz~ = n-+oo o. Die Punkte co' c1ZO' C2 Z0 2, ... , cnzon , . . haben also die einzige Haufungsstelle Null, und es ist daher moglieh, urn den Nullpunkt einen Kreis zu besehreiben, der aIle diese Punkte in seinem Inneren aufnimmt. § 1. Konvergenzgebiet einer Potenzreihe. 23 1st g der Radius dieses Kreises, so ist Ic~z~l